设在独立试验重复序列中，事件A在各次试验中发生的概率为p(0<p<1),随机变量ηn表示事件A在n次试验中发生的次数，则有
.其中z为任意实数，q=1-p.
证：设随机变量ξi表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…)，则ξi服从“0-1”分布，![]()
<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174840859">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]--> 相互独立，且有
直接由列维定理就得此定理.
l 近似公式
在上述定理条件下，当n充分大时，ηn落在m1与m2之间的概率
<!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75"
coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe"
filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter" />
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" />
<v:f eqn="sum @0 1 0" />
<v:f eqn="sum 0 0 @1" />
<v:f eqn="prod @2 1 2" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @0 0 1" />
<v:f eqn="prod @6 1 2" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="sum @8 21600 0" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @10 21600 0" />
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" />
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" />
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:243pt;
height:1in' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz"
o:title="" />
</v:shape><![endif]--> 
<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842389">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]--> （5.19）
注：此定理实际上说明了当n充分大时，二项分布B(n,p)逼近正态分布N(np,npq)，这是因为ηn是服从二项分布B(n,p)的.
例2 某批产品的次品率为0.005，试求在10000件产品中次品不多于70件的概率P.
解 设ξ表示在任意抽取的10000件产品中的次品数，则ξ服从二项分布B(10000,0.005). 此时若直接计算概率
这是较困难的.我们利用近似公式来计算,则
已知n=10000,p=0.005,q=0.995,np=50, 
，故<!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter" />
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" />
<v:f eqn="sum @0 1 0" />
<v:f eqn="sum 0 0 @1" />
<v:f eqn="prod @2 1 2" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @0 0 1" />
<v:f eqn="prod @6 1 2" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="sum @8 21600 0" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @10 21600 0" />
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" />
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" />
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:375.75pt;
height:30.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz"
o:title="" />
</v:shape><![endif]--> 
<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842564">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]-->
例3 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦.由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%,各台机器是否工作是相互独立的.求:（1）任一时刻有144至160台机器正在工作的概率;（2） 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.99?
解 设事件A表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验.已知n=200,p=0.75,q=0.25,np=150, 
，故
（1）设η表示任一时刻处于工作状态的机器数，<!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter" />
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" />
<v:f eqn="sum @0 1 0" />
<v:f eqn="sum 0 0 @1" />
<v:f eqn="prod @2 1 2" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @0 0 1" />
<v:f eqn="prod @6 1 2" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="sum @8 21600 0" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @10 21600 0" />
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" />
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" />
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:234pt;
height:50.25pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz"
o:title="" />
</v:shape><![endif]--> 
<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842714">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]-->
（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m，则题目要求
利用（5.19）式得,<!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter" />
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" />
<v:f eqn="sum @0 1 0" />
<v:f eqn="sum 0 0 @1" />
<v:f eqn="prod @2 1 2" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @0 0 1" />
<v:f eqn="prod @6 1 2" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="sum @8 21600 0" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @10 21600 0" />
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" />
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" />
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:155.25pt;
height:30.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz"
o:title="" />
</v:shape><![endif]--> 
<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842917">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]-->
因<!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter" />
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" />
<v:f eqn="sum @0 1 0" />
<v:f eqn="sum 0 0 @1" />
<v:f eqn="prod @2 1 2" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @0 0 1" />
<v:f eqn="prod @6 1 2" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="sum @8 21600 0" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @10 21600 0" />
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" />
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" />
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:131.25pt;
height:30.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz"
o:title="" />
</v:shape><![endif]--> 
<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174842949">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]--> ，故<!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter" />
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" />
<v:f eqn="sum @0 1 0" />
<v:f eqn="sum 0 0 @1" />
<v:f eqn="prod @2 1 2" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @0 0 1" />
<v:f eqn="prod @6 1 2" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="sum @8 21600 0" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @10 21600 0" />
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" />
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" />
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:27.75pt;
height:15.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/04/clip_image001.wmz"
o:title="" />
</v:shape><![endif]--> <!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174843054">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]--> <!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter" />
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" />
<v:f eqn="sum @0 1 0" />
<v:f eqn="sum 0 0 @1" />
<v:f eqn="prod @2 1 2" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @0 0 1" />
<v:f eqn="prod @6 1 2" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="sum @8 21600 0" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @10 21600 0" />
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" />
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" />
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:92.25pt;
height:30.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/02/clip_image001.wmz"
o:title="" />
</v:shape><![endif]--> 
<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174843121">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]--> ，查标准正态分布表
得<!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter" />
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0" />
<v:f eqn="sum @0 1 0" />
<v:f eqn="sum 0 0 @1" />
<v:f eqn="prod @2 1 2" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @0 0 1" />
<v:f eqn="prod @6 1 2" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth" />
<v:f eqn="sum @8 21600 0" />
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight" />
<v:f eqn="sum @10 21600 0" />
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" />
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t" />
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:87pt;
height:15.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:/DOCUME~1/ljl1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/02/clip_image001.wmz"
o:title="" />
</v:shape><![endif]--> 
<!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1174843087">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]--> ，并注意到函数
是单调增的，
则有
，解得m≥164.25
因为m为整数，故取m=165,即需要供应165Q千瓦的电功率.
转自：http://4a.hep.edu.cn/NCourse/gltj/5/gltj05040103.htm
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