KMP算法深度解析

摘要：KMP算法是字符串匹配的经典算法，由于其O(m+n)的时间复杂度，至今仍被广泛应用。大道至简，KMP算法非常简洁，然而，其内部却蕴含着玄妙的理论，以至许多人知其然而不知其所以然。本文旨在解开KMP算法的内部玄妙所在，希望能够有助于学习与理解。

1、KMP算法
一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现，因此称之为KMP算法。此算法可以在O(n+m)的时间数量级上完成串的模式匹配操作，其基本思想是：每当匹配过程中出现字符串比较不等时，不需回溯指针，而是利用已经得到的“部分匹配”结果将模式向右“滑动”尽可能远的一段距离，继续进行比较。

2、基于有限自动机理解算法
KMP 算法看似简单，其实要完全理解还是有困难的。KMP算法其实可以看成是一个有限自动机，分为 2 部分：第一部分自动机的构造 ( 对应一般的说法就是失效函数，转移函数， overlap 函数 ) ，第二部分在自动机上搜索过程。举个例子： 目标串 T = acabaabaabcacaabc; 模式串 P=abaabcac ；根据模式串构造自动机，向前的箭头表示搜索前进的方向。向后的箭头表示不匹配的回溯，即失效函数，或者状态变迁函数。例如：
f(j=1) = 0;
f(j=2) = 0;
f(j=3) = 1;
f(j=4) = 1;
f(j=5) = 2;
f(j=6) = 0;
f(j=7) = 1;

KMP本质上是构造了DFA并进行了模拟，因此很显然一旦从模版T构造了自动机D，用D去匹配主串S的过程就是线性的。KMP最引人入胜的地方就在于构造D的自匹配过程，它充分利用了D是一个DAG的性质，使得构造过程也是线性的。KMP算法不需要计算变迁函数，只用到辅助数组Next，即模式串自身的特征向量。特征向量可以用模式与其自身进行比较，预先计算出来，它可用于加快字符串匹配算法与有限自动机匹配器的执行速度。

3、Next特征数组构造
模式串P开头的任意个字符，把它称为前缀子串，如p0p1p2…pm-1。在P的第i位置的左边，取出k个字符，称为i位置的左子串，即pi-k+1... pi-2 pi-1 pi。求出最长的（最大的k）使得前缀子串与左子串相匹配称为，在第i位的最长前缀串。第i位的最长前缀串的长度k就是模板串P在位置i上的特征数n[i]特征数组成的向量称为该模式串的特征向量。
可以证明对于任意的模式串p=p0p1…pm-1,确实存在一个由模式串本身唯一确定的与目标串无关的数组next，计算方法为：
(1) 求p0…pi-1中最大相同的前缀和后缀的长度k;
(2) next[i] = k;

作为特殊情况，当i=0时，令next[i] = -1;显然，对于任意i(0≤i<m)，有next[i] < i;假定已经计算得到next[i], 那么next[i+1] = ? 特征数ni ( -1≤ ni ≤ i )是递归定义的，定义如下：
(1) n[0] ＝ -1，对于i > 0的n[i] ，假定已知前一位置的特征数 n[i-1]＝ k ；
(2) 如果pi ＝ pk ，则n[i] ＝ k＋1 ；
(3) 当pi ≠ pk 且k≠0时，则令k ＝ n [k -1] ; 让(3)循环直到条件不满足；
(4) 当qi ≠ qk 且k ＝ 0时，则ni ＝ 0;

根据以上分析，可以得到Next特征数组的计算方法，算法代码如下：

void get_next(SString T, int &next[])
{
	//求模式串T的next函数值并存入数组next
	i = 1; next[1] = 0; j = 0;
	while (i < T[0])
	{
		if(j ==0 || T[i] == T[j])
		{
			++i; ++j; next[i] = j;
		} 
		else 
		{
			j = next[j];
		}	
	}
}

文献[5]中解释了以上计算方法存在一定缺陷，存在多比较的情况，可对其进行修正，得到如下算法：

void get_next(SString T, int &next[])
{
	//求模式串T的next函数值并存入数组next
	i = 1; next[1] = 0; j = 0;
	while (i < T[0])
	{
		if(j ==0 || T[i] == T[j])
		{
			++i; ++j;
			if (T[i] != T[j])
				next[i] = j;
			else
				next[i] = next[j];
		} 
		else 
		{
			j = next[j];
		}	
	}
}

4、算法实现
KMP算法的难点就是有限自动机的构造和特征向量的计算。解决了这两个问题后，具体匹配算法就很简单了。

int Index_KMP(SString S,SString T,int pos){
//利用模式串T的next函数求T在主串S中第pos个字符之后的位置的KMP算法。
//其中，T非空，1≤pos≤StrLength(S)。
i=pos; j=1;
while(i <= S[0] && j<= T[0]){
if(j == 0 || S[i] == T[j]) { ++i; ++j; }//继续比较后继字符
else j = next[j];//模式串象右移动
}
if(j>T[0]) return i-T[0];//匹配成功
else return 0;
}//Index_KMP

算法相关理论分析与证明，以及算法复杂性分析，若感兴趣请参考文献[3]、[4]、[5]，这里不再赘述。

5、参考文献
[1] http://wansishuang.javaeye.com/blog/402018
[2] http://richardxx.yo2.cn/articles/kmp和extend-kmp算法.html
[3] KMP算法讲义PPT(Hu Junfeng, Peking University)
[4] 算法导论(第32章 字符串匹配)
[5] 数据结构(第4章 串)